La Historia del Cálculo, ... "a vuelo de pájaro"

La historia en general, y en particular la historia de la matemática, nos ha demostrado que todos los conceptos que hoy conocemos, fueron el fruto de innumerables conflictos que tuvieron que enfrentar los matemáticos de todos los tiempos. 

Ningún concepto matemático, procede de la imaginación o de la experiencia, sino más bien de la necesidad de dar respuesta a determinadas preguntas que se tornan problemáticas. En particular, los conceptos del cálculo, surgieron como respuestas a determinadas cuestiones referidas al análisis de variaciones, por ejemplo de la distancia recorrida con una determinada velocidad, en función del tiempo empleado; o de la necesidad de determinar el volumen máximo de un tonel de vino; en fin. 

Si haces clic en la barra inferior, podrás escuchar "La Historia del Cálculo Diferencial e Integral", ... "a vuelo de pájaro". Las ideas más fundamentales que te permitirán entender cómo surgieron los conceptos fundamentales del Cálculo. 

Locución: Sra. Paola Taibo.

La Regla de Barrow

El "Teorema Fundamental del Cálculo"

En este video presentamos la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo, acompañada de animaciones que orientarán la misma.
El Teorema Fundamental, relaciona los dos conceptos sobre los cuáles se sustenta el cálculo, estos son, el Concepto de la Derivada y el Concepto de la Integral. Espero puedas seguir la demostración. 

Construyendo la Función Derivada.

Seguramente, a partir de la definición de derivada de una función en un punto, habrás escuchado hablar de la Función Derivada f´(x) de una Función f(x) dada.

Como toda función con dominio en el conjunto de los números reales, la Función Derivada puede ser graficada en el plano cartesiano.

Para ello, utilizaremos el hecho de que, la derivada f´(x) de una función en un punto, puede interpretarse como la pendiente a la gráfica de la función f(x) en dicho punto. De esta manera, para determinar la función derivada gráficamente lo que hacemos es hacerle corresponder a cada x=a del dominio el valor f´(a)=m, donde m es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto de coordenadas (a, f(a)).

A continuación, veremos cómo se determina la función derivada de una función cúbica, para ello observemos la siguiente construcción de GeoGebra:

Nos acercamos a la noción de derivada. Segunda parte

La Función Integral

Ahora, nos empezaremos a acercar al Teorema Fundamental del Cálculo, el cuál es el más importante de esta área de estudio, pues establece la relación entre las dos ramas del Cálculo, el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Antes de ello, necesitaremos definir una función muy particular, que nos será de gran importancia.

Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b].

Definimos una nueva función A, de la siguiente manera:

Observemos que la función A, sólo depende de la variable x, que es el límite superior de una integral definida. La variable x varía entre a y b.

Si x toma un valor fijo, entonces la integral definida, y por lo tanto la función A, asume un valor bien definido. Por lo tanto, si x varía, el valor de la integral definida también lo hace y define a una función de x, A(x).

A la función  A(x), la denominaremos Función Integral o Función de Acumulación.

Notar que, si x=a entonces

Y si x=b, entonces

Interpretación de la Función Integral.

Si f es una función positiva, entonces la función A, puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f desde a hasta x, donde x varía entre a y b.  Lo veamos gráficamente:

Propiedades de la Integral Definida

1.Aditividad del intervalo

Si f es integrable en el intervalo [a,b], entonces si c es un punto cualquiera interior al intervalo, tenemos que:

Veamos una interpretación geométrica, considerando una función f positiva, donde a<c<b.

2.Teorema del valor medio (para funciones continuas)

Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior al intervalo para el cual se cumple:

f(c) es el valor medio de f en [a,b]

Veamos una interpretación geométrica...
Otros dos resultados, y que no es dificil darse cuenta de los mismos son:

3.

 

4.

 

Los veamos gráficamente...