La Función Integral

Ahora, nos empezaremos a acercar al Teorema Fundamental del Cálculo, el cuál es el más importante de esta área de estudio, pues establece la relación entre las dos ramas del Cálculo, el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Antes de ello, necesitaremos definir una función muy particular, que nos será de gran importancia.

Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b].

Definimos una nueva función A, de la siguiente manera:

Observemos que la función A, sólo depende de la variable x, que es el límite superior de una integral definida. La variable x varía entre a y b.

Si x toma un valor fijo, entonces la integral definida, y por lo tanto la función A, asume un valor bien definido. Por lo tanto, si x varía, el valor de la integral definida también lo hace y define a una función de x, A(x).

A la función  A(x), la denominaremos Función Integral o Función de Acumulación.

Notar que, si x=a entonces

Y si x=b, entonces

Interpretación de la Función Integral.

Si f es una función positiva, entonces la función A, puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f desde a hasta x, donde x varía entre a y b.  Lo veamos gráficamente:

Propiedades de la Integral Definida

1.Aditividad del intervalo

Si f es integrable en el intervalo [a,b], entonces si c es un punto cualquiera interior al intervalo, tenemos que:

Veamos una interpretación geométrica, considerando una función f positiva, donde a<c<b.

2.Teorema del valor medio (para funciones continuas)

Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior al intervalo para el cual se cumple:

f(c) es el valor medio de f en [a,b]

Veamos una interpretación geométrica...
Otros dos resultados, y que no es dificil darse cuenta de los mismos son:

3.

 

4.

 

Los veamos gráficamente...

La Integral Definida

Vimos que el cálculo integral tiene sus orígenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba de calcular áreas de regiones planas limitadas por una o varias curvas, por ejemplo como las que mostramos en las figuras:

Nos propusimos calcular el área de regiones de este tipo. Puesto que, en general, la región del plano, bajo la gráfica de la función f,  no puede descomponerse en triángulos o rectángulos (lo que si se puede hacer por ejemplo en el caso de la segunda figura de arriba), vimos que no hay una fórmula que nos permita calcular directamente su área. La idea fue entonces dar soluciones aproximadas que luego, nos permitieron definir el valor exacto del área de la región.

Concepto de Integral Definida

Ahora consideremos a f una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Llamamos recinto S, a la región del plano limitada por la gráfica de la función f, el eje de las abscisas, y las recta de ecuaciones x=a y x=b.

El área buscada se puede aproximar por rectángulos de la siguiente forma:

Primero, se divide el intervalo [a,b] en un número finito de subintervalos [x_k-1,x_k], con 1≤k≤n, cuyas longitudes pueden ser distintas y con la única condición de que no se superpongan, es decir que: 

a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b

Se dice que éstos puntos constituyen una partición P del intervalo [a,b]. Cada uno de estos subintervalos tiene una longitud dada por:

 

Si elegimos en cada uno de éstos subintervalos [x_k-1,x_k] un punto arbitrario c_i, podemos calcular el área aproximada de la región S, como sigue:

 

La cual se denomina suma de Riemman de la función f, correspondiente a la partición P.

La norma de la partición P es el máximo del conjunto formado por las longitudes de los subintervalos correspondientes a la partición P. La denotaremos por lPl.

Si existe el límite: 

 

se dice que f es integrable en [a,b]. Además, se llama Integral Definida (o integral de Riemman) de f entre x=a y x=b al valor:

Algunas consideraciones acerca de la definición

Los números a y b, se denominan límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior.

La integral definida  es un número, no depende de x. De hecho, podríamos cualquier letra en lugar de x sin cambiar el valor de la integral:

De acuerdo a lo visto en las entradas previas, vemos que la integral definida se puede interpretar como el área bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b.

Si f toma valores positivos y negativos como en la figura que se muestra, la integral definida se puede interpretar como un área neta, es decir una diferencia de áreas:

donde A₁ es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, y A₂ es el área de la región abajo del eje x y arriba de la gráfica de f.

Aún, cuando hemos definido la integral definida, dividiendo en subintervalos de longitudes desiguales el intervalo [a,b], en muchas situaciones es ventajoso trabajar con subintervalos de igual longitud.

Hemos definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las funciones son integrables, el siguiente teorema no ayudará a evitar ciertos conflictos...

Interpretación Geométrica de la Integral Definida

En el siguiente Applet, te presento la interpretación geométrica del concepto de la Integral Definida. En el mismo te presento una definición alternativa, el de las Sumas Superiores y de las Sumas Inferiores. Si surgen algunas dudas, revisa la diapositiva que antecede ésta entrada. 

El problema del Cálculo de Áreas