Integrales Indefinidas

Dentro del estudio de las matemáticas, se trabajan con distintas operaciones que tienen su correspondiente operación inversa, como por ejemplo, adición y sustracción, multiplicación y división, potenciación y extracción de raíces, entre otras.

Hasta ahora, nosotros sabemos resolver el problema de: dada una función f , hallar su derivada, lo cual nos llevó a definir derivada de una función en un punto y estudiar el proceso de derivación.

Pero, muchas de las aplicaciones importantes del cálculo se relacionan con el problema siguiente: dada la derivada de una función, hallar la función que le dio origen a tal derivada. O sea, estamos planteando el problema inverso al de determinar derivadas. Esto es lo que se denomina, determinar la anti-derivada o primitiva de una función. 

Sea f:R->R, una función definida en un conjunto D, la función F es una anti-derivada o primitiva de la función f si y solo si F es derivable en D y F´(x)=f(x)  para todo punto del dominio de f.

O sea:

Ejemplo:

Encuentre una primitiva de la función:

en el conjunto de los reales.

Entonces, debemos buscar una función F que satisfaga que:

Por nuestras experiencias en el proceso de derivación, sabemos que  

tiene por derivada a f(x) , por lo que F sería una primitiva de f.
Otras primitivas de la funcion f, son

Pues vemos que ambas tienen por derivada a f(x) .

Se debe recordar que dos funciones que difieren en una constante tienen igual derivada, por lo que si F es una primitiva de f, también lo será entonces F(x)+C para todo número real C . Es por ello, que se ha usado en la definición anterior la expresión “una primitiva” y no “la primitiva” de f(x).

Veamos una definición...

Dada la función f(x) , se llama Integral Indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas y se denota por:

Geométricamente representa una familia de curvas que son paralelas entre sí.

El proceso de encontrar la primitiva de una funcion, es un arte que depende de la experiencia y de la práctica. Por suerte, existen ciertas técnicas o métodos de integración, las cuales pueden reducir sustancialmente nuestro trabajo. 
A continuación, te presento un documento, para que puedas familiarizarte más con los métodos de integración. para leerlo, haz clic aqui.