La Historia del Cálculo, ... "a vuelo de pájaro"

La historia en general, y en particular la historia de la matemática, nos ha demostrado que todos los conceptos que hoy conocemos, fueron el fruto de innumerables conflictos que tuvieron que enfrentar los matemáticos de todos los tiempos. 

Ningún concepto matemático, procede de la imaginación o de la experiencia, sino más bien de la necesidad de dar respuesta a determinadas preguntas que se tornan problemáticas. En particular, los conceptos del cálculo, surgieron como respuestas a determinadas cuestiones referidas al análisis de variaciones, por ejemplo de la distancia recorrida con una determinada velocidad, en función del tiempo empleado; o de la necesidad de determinar el volumen máximo de un tonel de vino; en fin. 

Si haces clic en la barra inferior, podrás escuchar "La Historia del Cálculo Diferencial e Integral", ... "a vuelo de pájaro". Las ideas más fundamentales que te permitirán entender cómo surgieron los conceptos fundamentales del Cálculo. 

Locución: Sra. Paola Taibo.

La Regla de Barrow

El "Teorema Fundamental del Cálculo"

En este video presentamos la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo, acompañada de animaciones que orientarán la misma.
El Teorema Fundamental, relaciona los dos conceptos sobre los cuáles se sustenta el cálculo, estos son, el Concepto de la Derivada y el Concepto de la Integral. Espero puedas seguir la demostración. 

La Función Integral

Ahora, nos empezaremos a acercar al Teorema Fundamental del Cálculo, el cuál es el más importante de esta área de estudio, pues establece la relación entre las dos ramas del Cálculo, el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Antes de ello, necesitaremos definir una función muy particular, que nos será de gran importancia.

Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b].

Definimos una nueva función A, de la siguiente manera:

Observemos que la función A, sólo depende de la variable x, que es el límite superior de una integral definida. La variable x varía entre a y b.

Si x toma un valor fijo, entonces la integral definida, y por lo tanto la función A, asume un valor bien definido. Por lo tanto, si x varía, el valor de la integral definida también lo hace y define a una función de x, A(x).

A la función  A(x), la denominaremos Función Integral o Función de Acumulación.

Notar que, si x=a entonces

Y si x=b, entonces

Interpretación de la Función Integral.

Si f es una función positiva, entonces la función A, puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f desde a hasta x, donde x varía entre a y b.  Lo veamos gráficamente:

Propiedades de la Integral Definida

1.Aditividad del intervalo

Si f es integrable en el intervalo [a,b], entonces si c es un punto cualquiera interior al intervalo, tenemos que:

Veamos una interpretación geométrica, considerando una función f positiva, donde a<c<b.

2.Teorema del valor medio (para funciones continuas)

Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior al intervalo para el cual se cumple:

f(c) es el valor medio de f en [a,b]

Veamos una interpretación geométrica...
Otros dos resultados, y que no es dificil darse cuenta de los mismos son:

3.

 

4.

 

Los veamos gráficamente...

La Integral Definida

Vimos que el cálculo integral tiene sus orígenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba de calcular áreas de regiones planas limitadas por una o varias curvas, por ejemplo como las que mostramos en las figuras:

Nos propusimos calcular el área de regiones de este tipo. Puesto que, en general, la región del plano, bajo la gráfica de la función f,  no puede descomponerse en triángulos o rectángulos (lo que si se puede hacer por ejemplo en el caso de la segunda figura de arriba), vimos que no hay una fórmula que nos permita calcular directamente su área. La idea fue entonces dar soluciones aproximadas que luego, nos permitieron definir el valor exacto del área de la región.

Concepto de Integral Definida

Ahora consideremos a f una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Llamamos recinto S, a la región del plano limitada por la gráfica de la función f, el eje de las abscisas, y las recta de ecuaciones x=a y x=b.

El área buscada se puede aproximar por rectángulos de la siguiente forma:

Primero, se divide el intervalo [a,b] en un número finito de subintervalos [x_k-1,x_k], con 1≤k≤n, cuyas longitudes pueden ser distintas y con la única condición de que no se superpongan, es decir que: 

a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b

Se dice que éstos puntos constituyen una partición P del intervalo [a,b]. Cada uno de estos subintervalos tiene una longitud dada por:

 

Si elegimos en cada uno de éstos subintervalos [x_k-1,x_k] un punto arbitrario c_i, podemos calcular el área aproximada de la región S, como sigue:

 

La cual se denomina suma de Riemman de la función f, correspondiente a la partición P.

La norma de la partición P es el máximo del conjunto formado por las longitudes de los subintervalos correspondientes a la partición P. La denotaremos por lPl.

Si existe el límite: 

 

se dice que f es integrable en [a,b]. Además, se llama Integral Definida (o integral de Riemman) de f entre x=a y x=b al valor:

Algunas consideraciones acerca de la definición

Los números a y b, se denominan límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior.

La integral definida  es un número, no depende de x. De hecho, podríamos cualquier letra en lugar de x sin cambiar el valor de la integral:

De acuerdo a lo visto en las entradas previas, vemos que la integral definida se puede interpretar como el área bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b.

Si f toma valores positivos y negativos como en la figura que se muestra, la integral definida se puede interpretar como un área neta, es decir una diferencia de áreas:

donde A₁ es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, y A₂ es el área de la región abajo del eje x y arriba de la gráfica de f.

Aún, cuando hemos definido la integral definida, dividiendo en subintervalos de longitudes desiguales el intervalo [a,b], en muchas situaciones es ventajoso trabajar con subintervalos de igual longitud.

Hemos definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las funciones son integrables, el siguiente teorema no ayudará a evitar ciertos conflictos...

Interpretación Geométrica de la Integral Definida

En el siguiente Applet, te presento la interpretación geométrica del concepto de la Integral Definida. En el mismo te presento una definición alternativa, el de las Sumas Superiores y de las Sumas Inferiores. Si surgen algunas dudas, revisa la diapositiva que antecede ésta entrada. 

El problema del Cálculo de Áreas

Integrales Indefinidas

Dentro del estudio de las matemáticas, se trabajan con distintas operaciones que tienen su correspondiente operación inversa, como por ejemplo, adición y sustracción, multiplicación y división, potenciación y extracción de raíces, entre otras.

Hasta ahora, nosotros sabemos resolver el problema de: dada una función f , hallar su derivada, lo cual nos llevó a definir derivada de una función en un punto y estudiar el proceso de derivación.

Pero, muchas de las aplicaciones importantes del cálculo se relacionan con el problema siguiente: dada la derivada de una función, hallar la función que le dio origen a tal derivada. O sea, estamos planteando el problema inverso al de determinar derivadas. Esto es lo que se denomina, determinar la anti-derivada o primitiva de una función. 

Sea f:R->R, una función definida en un conjunto D, la función F es una anti-derivada o primitiva de la función f si y solo si F es derivable en D y F´(x)=f(x)  para todo punto del dominio de f.

O sea:

Ejemplo:

Encuentre una primitiva de la función:

en el conjunto de los reales.

Entonces, debemos buscar una función F que satisfaga que:

Por nuestras experiencias en el proceso de derivación, sabemos que  

tiene por derivada a f(x) , por lo que F sería una primitiva de f.
Otras primitivas de la funcion f, son

Pues vemos que ambas tienen por derivada a f(x) .

Se debe recordar que dos funciones que difieren en una constante tienen igual derivada, por lo que si F es una primitiva de f, también lo será entonces F(x)+C para todo número real C . Es por ello, que se ha usado en la definición anterior la expresión “una primitiva” y no “la primitiva” de f(x).

Veamos una definición...

Dada la función f(x) , se llama Integral Indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas y se denota por:

Geométricamente representa una familia de curvas que son paralelas entre sí.

El proceso de encontrar la primitiva de una funcion, es un arte que depende de la experiencia y de la práctica. Por suerte, existen ciertas técnicas o métodos de integración, las cuales pueden reducir sustancialmente nuestro trabajo. 
A continuación, te presento un documento, para que puedas familiarizarte más con los métodos de integración. para leerlo, haz clic aqui.