La Regla de Barrow

El "Teorema Fundamental del Cálculo"

En este video presentamos la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo, acompañada de animaciones que orientarán la misma.
El Teorema Fundamental, relaciona los dos conceptos sobre los cuáles se sustenta el cálculo, estos son, el Concepto de la Derivada y el Concepto de la Integral. Espero puedas seguir la demostración. 

La Función Integral

Ahora, nos empezaremos a acercar al Teorema Fundamental del Cálculo, el cuál es el más importante de esta área de estudio, pues establece la relación entre las dos ramas del Cálculo, el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Antes de ello, necesitaremos definir una función muy particular, que nos será de gran importancia.

Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b].

Definimos una nueva función A, de la siguiente manera:

Observemos que la función A, sólo depende de la variable x, que es el límite superior de una integral definida. La variable x varía entre a y b.

Si x toma un valor fijo, entonces la integral definida, y por lo tanto la función A, asume un valor bien definido. Por lo tanto, si x varía, el valor de la integral definida también lo hace y define a una función de x, A(x).

A la función  A(x), la denominaremos Función Integral o Función de Acumulación.

Notar que, si x=a entonces

Y si x=b, entonces

Interpretación de la Función Integral.

Si f es una función positiva, entonces la función A, puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f desde a hasta x, donde x varía entre a y b.  Lo veamos gráficamente:

Propiedades de la Integral Definida

1.Aditividad del intervalo

Si f es integrable en el intervalo [a,b], entonces si c es un punto cualquiera interior al intervalo, tenemos que:

Veamos una interpretación geométrica, considerando una función f positiva, donde a<c<b.

2.Teorema del valor medio (para funciones continuas)

Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior al intervalo para el cual se cumple:

f(c) es el valor medio de f en [a,b]

Veamos una interpretación geométrica...
Otros dos resultados, y que no es dificil darse cuenta de los mismos son:

3.

 

4.

 

Los veamos gráficamente...