La Historia del Cálculo, ... "a vuelo de pájaro"

La historia en general, y en particular la historia de la matemática, nos ha demostrado que todos los conceptos que hoy conocemos, fueron el fruto de innumerables conflictos que tuvieron que enfrentar los matemáticos de todos los tiempos. 

Ningún concepto matemático, procede de la imaginación o de la experiencia, sino más bien de la necesidad de dar respuesta a determinadas preguntas que se tornan problemáticas. En particular, los conceptos del cálculo, surgieron como respuestas a determinadas cuestiones referidas al análisis de variaciones, por ejemplo de la distancia recorrida con una determinada velocidad, en función del tiempo empleado; o de la necesidad de determinar el volumen máximo de un tonel de vino; en fin. 

Si haces clic en la barra inferior, podrás escuchar "La Historia del Cálculo Diferencial e Integral", ... "a vuelo de pájaro". Las ideas más fundamentales que te permitirán entender cómo surgieron los conceptos fundamentales del Cálculo. 

Locución: Sra. Paola Taibo.

El "Teorema Fundamental del Cálculo"

En este video presentamos la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo, acompañada de animaciones que orientarán la misma.
El Teorema Fundamental, relaciona los dos conceptos sobre los cuáles se sustenta el cálculo, estos son, el Concepto de la Derivada y el Concepto de la Integral. Espero puedas seguir la demostración. 

Construyendo la Función Derivada.

Seguramente, a partir de la definición de derivada de una función en un punto, habrás escuchado hablar de la Función Derivada f´(x) de una Función f(x) dada.

Como toda función con dominio en el conjunto de los números reales, la Función Derivada puede ser graficada en el plano cartesiano.

Para ello, utilizaremos el hecho de que, la derivada f´(x) de una función en un punto, puede interpretarse como la pendiente a la gráfica de la función f(x) en dicho punto. De esta manera, para determinar la función derivada gráficamente lo que hacemos es hacerle corresponder a cada x=a del dominio el valor f´(a)=m, donde m es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto de coordenadas (a, f(a)).

A continuación, veremos cómo se determina la función derivada de una función cúbica, para ello observemos la siguiente construcción de GeoGebra:

Nos acercamos a la noción de derivada. Segunda parte

Cuando el límite no existe...

Recordemos una vez más la definición de límite finito:

Para que una función f no tenga límite en el punto x=a, la definición anterior no debe cumplirse para ningún número real L. Entonces si negamos la definición anterior obtenemos que:

Una función f, no tiene límite en el punto x=a si y solo si

Gráficamente, lo anterior siginifica, que para cualquier número L que se proponga como posible límite de la función f en el punto x=a, siempre es posible encontrar una entorno de L talque, en cualquier entorno reducido del punto x=a, hay por lo menos un x del dominio, para el cual f(x) queda fuera del entorno de L .

La siguiente construcción te ayudará a profundizar ésta idea.

Límite de una Función

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Antes de empezar trabajemos con el siguiente ejemplo que nos ayudará a aproximarnos a la idea de límite.

Sean la función definida por la forma:

Sea x=2 un punto de acumulación de su dominio.

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f:

Observemos ahora la siguiente tabla:

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 5.

Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite.

Definición (épsilon-delta) de limite de una función en un punto. 

Sea f:R->R, una función definida en algún subconjunto del conjunto de los números reales, sea x=a un punto de acumulación de su dominio y sea L un número real. Se dice que L es el límite de la función f cuando x tiende a a , y se escribe:

si y solo si se cumple que:

Interpretación geométrica del concepto de límite.

En la siguiente construcción podrás ver la interpretación geométrica del concepto de límite, para la función del ejemplo analizado: